Теорема Пифагора 8 класс самостоятельная работа: 2 варианта с ответами на 10–15 минут

После темы нужна проверка за один урок без копания в учебнике. Теорема Пифагора 8 класс самостоятельная работа из четырёх заданий (гипотенуза, катет, обратная теорема и текстовая задача) укладывается в 12 минут. Ниже две готовые версии, ответы, критерии и разбор ошибок. Числа в заданиях свои, поэтому при необходимости подставьте под учебник другие.

Что проверяет самостоятельная работа по теореме Пифагора

Работа проверяет четыре умения: найти гипотенузу, найти катет, проверить прямоугольность треугольника по обратной теореме и применить теорему в задаче с жизненным сюжетом. Каждому умению отвечает одно задание, поэтому по ответам сразу видно, что класс не усвоил.

Задания 1 и 2 проверяют прямое применение формул c² = a² + b² и a² = c² − b². Задание 3 проверяет обратную теорему: ученик складывает квадраты двух меньших сторон и сравнивает с квадратом наибольшей. Задание 4 проверяет, умеет ли восьмиклассник перевести текст в чертёж и найти в нём прямоугольный треугольник. Пятое задание со звёздочкой необязательное, его дают тем, кто закончил раньше.

Формулировки теоремы и обратной теоремы сверьте с учебником вашего класса. Обратная обычно звучит так: если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других, то треугольник прямоугольный. Слова могут чуть отличаться, и ученики должны пользоваться привычной для них формой. Весь материал можно брать как самостоятельную работу по геометрии 8 класс на тему «Теорема Пифагора» без изменений: он рассчитан на один урок.

Вариант 1

В первом варианте числа подобраны так, чтобы корень извлекался нацело, и ученики не тратили время на калькулятор. На работу отведите 12–15 минут.

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 см и 15 см. Найдите гипотенузу.
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 13 см, один катет равен 5 см. Найдите второй катет.
3. Стороны треугольника равны 12 см, 16 см и 20 см. Выясните, прямоугольный ли он. Ответ обоснуйте.
4. Лестница длиной 10 м приставлена к вертикальной стене. Нижний конец лестницы находится в 6 м от стены. На какой высоте верхний конец лестницы касается стены?
5*. Диагональ прямоугольника равна 17 см, одна из его сторон равна 8 см. Найдите площадь прямоугольника.

Вариант 2

Второй вариант повторяет структуру первого, но числа другие, и в третьем задании треугольник уже не прямоугольный. Так видно, кто действительно считает, а кто отвечает «да» по привычке.

1. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 см и 12 см. Найдите гипотенузу.
2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25 см, один катет равен 7 см. Найдите второй катет.
3. Стороны треугольника равны 6 см, 7 см и 10 см. Выясните, прямоугольный ли он. Ответ обоснуйте.
4. Лестница длиной 13 м приставлена к вертикальной стене. Нижний конец лестницы находится в 5 м от стены. На какой высоте верхний конец лестницы касается стены?
5*. Диагональ прямоугольника равна 10 см, одна из его сторон равна 6 см. Найдите периметр прямоугольника.

Вариант 3 для сильного класса

Третья версия нужна, если класс сильный или вы хотите дать домашнюю проверку: здесь больше шагов и один ответ с корнем. Она занимает 15–20 минут, а стороны первого задания подобраны так, чтобы корень не извлекался нацело.

1. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами 4 см и 6 см (запишите ответ в виде корня и упростите).
2. В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, а боковая сторона 17 см. Найдите высоту, проведённую к основанию, и площадь треугольника.
3. Диагонали ромба равны 16 см и 30 см. Найдите сторону и периметр ромба.
4. Турист прошёл 9 км на север, потом 12 км на восток. На каком расстоянии от начала пути он оказался?

Ответы: 1) √52 = 2√13 см; 2) высота 15 см, площадь 120 кв. см; 3) сторона 17 см, периметр 68 см; 4) 15 км.

В задании 2 высота делит основание пополам, получается прямоугольный треугольник с катетом 8 см и гипотенузой 17 см. В задании 3 диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам, поэтому сторона ромба служит гипотенузой треугольника с катетами 8 и 15. Здесь тот же приём, что и в основной версии, но ученик должен сам увидеть нужный треугольник. Если свойства ромба у вас ещё не пройдены, замените это задание на любое другое с диагональю прямоугольника. Задачи на теорему Пифагора 8 класс в сильных классах полезно разбирать именно так: сначала найдите прямоугольный треугольник, потом считайте.

Ответы и решения

Ответы проверяйте по таблице, а решения нужны, если ученик не согласен с отметкой. Все числа пересчитаны отдельно.

Во втором задании ученик вычитает квадрат известного катета из квадрата гипотенузы: сложение здесь даёт самую частую ошибку. В задании 4 помогает чертёж: стена, земля и лестница образуют прямоугольный треугольник, где лестница — гипотенуза. В задании 5* диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника, и дальше работает та же формула.

Как напомнить теорему перед работой за две минуты

Перед самостоятельной работой не нужно пересказывать параграф: хватит двух минут и одного чертежа на доске. Объясните так, чтобы ученик мог повторить дома без вас.

Не показывайте решённые задачи из вариантов, иначе работа превратится в переписывание. Ограничьтесь теорией и одним примером с другими числами.

Как правильно звучит теорема Пифагора — эту полную формулировку стоит записать на доске: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Если класс спросит про доказательство, самый простой способ доказательства теоремы Пифагора — через площади: квадрат со стороной a + b складывается из четырёх равных прямоугольных треугольников с катетами a и b и квадрата со стороной c. Тогда (a + b)² = 4 · ab : 2 + c², и после раскрытия скобок остаётся a² + b² = c². Какое доказательство в вашем учебнике, проверьте по параграфу.

Критерии оценки: баллы и отметки

Максимум за основную часть — 6 баллов, задание со звёздочкой добавляет ещё 2. Пороги ниже примерные: сверьте их с положением об оценивании вашей школы.

Пороги: 6 баллов и выше — «5», 5 баллов — «4», 3–4 балла — «3», меньше 3 — «2». Задание со звёздочкой не обязательно: его баллы идут в запас, чтобы исправить случайную ошибку в другом задании. Если в заданиях 3 и 4 ученик верно составил равенство, но ошибся в вычислении, ставьте 1 балл из 2. Чтобы оценить, как результат отразится на показателях класса, посмотрите материал о проценте успеваемости и качестве знаний.

Типичные ошибки восьмиклассников

Ошибки в этой теме повторяются, и перед работой стоит показать на доске два-три примера. Так класс видит, где обычно ломаются, и не повторяет это в тетради.

Часто ученики рассуждают так: «катеты 2 и 3, значит гипотенуза 2 + 3 = 5». На деле 2² + 3² = 13, и гипотенуза равна √13, то есть примерно 3,6 — меньше суммы катетов, как и должно быть по неравенству треугольника. Обсудите такой случай один раз, и он перестанет повторяться.

Когда ставить работу и что делать с результатами

Теорема Пифагора 8 класс самостоятельная работа лучше всего работает через один-два урока после изучения темы: за это время класс успевает решить несколько задач, но ещё не забыл формулы. Если поставить её сразу после объяснения, вы проверите только кратковременную память. Если оттянуть на неделю, часть детей потеряет формулу катета.

После проверки разложите результаты по номерам. Если в первых двух номерах ошиблись больше трети класса, вернитесь к формулам и решите у доски по одному примеру. Если сбой в третьем номере, потренируйте обратную теорему на трёх-четырёх тройках чисел. Если не получилась текстовая задача, на следующем уроке начните с чертежей: пусть дети рисуют лестницу, стену и землю, а решают уже потом. Похожую логику разбора вы найдёте в образце контрольной по геометрии для 7 класса.

Результаты работы не обязательно вносить в журнал: теорема пифагора 8 класс самостоятельная работа нередко служит просто диагностикой, а отметку выставляют только тем, кто хочет исправить прежнюю. Решение по этому вопросу принимает школа, поэтому уточните его в положении об оценивании.

Синус, косинус и тангенс острого угла по федеральной рабочей программе идут в 8 классе сразу за теоремой Пифагора, в одном разделе «Теорема Пифагора и начала тригонометрии». Если нужна самостоятельная работа по геометрии 8 класс на синус, косинус, тангенс, добавьте к работе шестое задание: «Катеты прямоугольного треугольника 6 см и 8 см. Найдите синус, косинус и тангенс угла, лежащего против катета 6 см». Сначала ученик находит гипотенузу (10 см), потом отношения: sin = 0,6, cos = 0,8, tg = 0,75. Одно задание связывает обе темы и показывает, понимает ли класс, какая сторона к углу прилежит, а какая противолежит.

Шпаргалка: пифагоровы тройки

Пифагоровы тройки — наборы целых чисел, для которых сумма квадратов двух равна квадрату третьего. Их стоит знать, потому что учитель и ученик проверяют ответ в уме, а при подборе чисел для работы эти тройки удобны.

Любую тройку можно увеличить в одно и то же число раз: из 3, 4, 5 получаются 6, 8, 10 и 9, 12, 15. Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 называют египетским. Он удобен для запоминания и для проверки прямого угла: если стороны треугольника относятся как 3 : 4 : 5, угол между двумя меньшими сторонами прямой.

Как провести работу за 12 минут

За 12 минут успевают четыре задания, если распределить время заранее. Раздайте варианты через ряд, чтобы соседи по парте писали разные.

Если урок короче, возьмите только задания 1, 2 и 4, а задание на обратную теорему вынесите на следующий урок. Для алгебры того же класса подойдёт самостоятельная работа по квадратным уравнениям, а итоговую проверку по этой теме удобно строить по образцу контрольной по квадратным уравнениям.

Коротко: теорема Пифагора 8 класс самостоятельная работа из четырёх заданий проверяет гипотенузу, катет, обратную теорему и задачу с чертежом за 12–15 минут. Разложите ошибки по номерам — и следующий урок начнётся ровно с того места, где класс споткнулся.

Частые вопросы

Как легко понять теорему Пифагора?

Легко понять теорему Пифагора через площади: на каждой стороне прямоугольного треугольника стоит квадрат, и два маленьких квадрата вместе весят ровно столько же, сколько большой, как гири на весах. Нарисуйте прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, посчитайте 9 + 16 = 25 и покажите, что гипотенуза равна 5. Чаще всего этого достаточно, чтобы ученик запомнил.

Какие теоремы проходят в 8 классе по геометрии?

Это зависит от учебника и рабочей программы. По федеральной рабочей программе в 8 классе изучают четырёхугольники, теорему Фалеса, подобие треугольников, площади, теорему Пифагора и начала тригонометрии. Точный порядок и состав сверьте с вашей программой.

Как проверить, что треугольник прямоугольный?

По обратной теореме: сложите квадраты двух меньших сторон и сравните с квадратом наибольшей. Если равенство верно, угол напротив наибольшей стороны прямой. В варианте 1 это 12² + 16² = 20², в варианте 2 равенство не выполняется.

Что такое египетский треугольник?

Это прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4 и 5. В нём 3² + 4² = 5², поэтому он удобен для проверки прямого угла и для запоминания теоремы.

Сколько времени нужно на теорему пифагора 8 класс самостоятельная работа?

Основная версия занимает 12–15 минут, повышенный вариант 15–20. Если урок короче, возьмите номера 1, 2 и 4.

Какое задание лучше всего показывает, что тему поняли?

Текстовая задача с чертежом. Если ученик сам нашёл гипотенузу и катеты в рассказе про лестницу, то формулу он применяет осознанно.