Квадратные уравнения 8 класс контрольная работа по алгебре: 2 варианта с ответами

Тема закончилась, пора проверить, кто решает через дискриминант, а кто угадывает корни. Квадратные уравнения 8 класс контрольная работа по алгебре — это 6 заданий на 40 минут: от неполных уравнений до теоремы Виета и текстовой задачи. Ниже два своих варианта с ответами и решениями, критерии оценки и разбор типичных ошибок.

Что проверяет контрольная по квадратным уравнениям

Контрольная работа квадратные уравнения 8 класс проверяет шесть умений, и они идут по нарастанию сложности. Задания разбиты на три уровня: базовый, средний и повышенный.

Всего 13 баллов. Тема в вашей рабочей программе может идти в другом порядке, например теорема Виета может изучаться раньше текстовых задач. Сверьте содержание работы с рабочей программой и с содержанием на сайте edsoo.ru и при необходимости замените четвёртое или шестое задание.

Время на работу 40 минут. На задания 1–4 уходит около 20–25 минут, на текстовую задачу и параметр остаётся остальное.

Перед этой работой у многих классов стоит контрольная работа по алгебре 8 класс по теме «Квадратные корни»: в учебнике Макарычева глава о квадратных корнях идёт прямо перед квадратными уравнениями. Без уверенного извлечения корня формула корней не сработает, поэтому три задания на корни можно дать как разминку: вычислите √81 − √0,25 (ответ 8,5); упростите √50 − √8 (ответ 3√2); сравните 3√5 и 2√11 (3√5 больше, потому что 45 > 44). В журнале по математике отметка за такую разминку обычно не ставится.

Вариант 1 и вариант 2 с ответами

Квадратные уравнения 8 класс контрольная работа по алгебре ниже дана в двух вариантах, оба составлены специально для этой страницы. Числа подобраны так, чтобы дискриминант был полным квадратом, а ответы получались целыми или простыми дробями. Каждый ответ проверен подстановкой в уравнение.

1. Для уравнения 3x² − 7x + 2 = 0 назовите коэффициенты a, b, c и найдите дискриминант.
2. Решите уравнения: а) x² − 25 = 0; б) 2x² + 8x = 0.
3. Решите уравнение 2x² − 5x − 3 = 0.
4. Не решая уравнение x² − 9x + 14 = 0, найдите сумму и произведение его корней. Затем подберите корни.
5. Одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой, площадь равна 40 см². Найдите стороны прямоугольника.
6. При каком значении p уравнение x² − 6x + p = 0 имеет ровно один корень?

Ответы.
1) a = 3, b = −7, c = 2, D = 25.
2) а) x = 5 или x = −5; б) вынесем 2x: 2x(x + 4) = 0, откуда x = 0 или x = −4.
3) D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7) / 4, откуда x = 3 или x = −1/2.
4) сумма корней равна 9, произведение равно 14; корни 2 и 7.
5) x(x + 3) = 40, x² + 3x − 40 = 0, D = 169, x = 5 (корень −8 не подходит по смыслу); стороны 5 см и 8 см.
6) D = 36 − 4p = 0, откуда p = 9.

1. Для уравнения 5x² + x − 4 = 0 назовите коэффициенты a, b, c и найдите дискриминант.
2. Решите уравнения: а) 3x² − 27 = 0; б) x² − 6x = 0.
3. Решите уравнение 3x² + 5x − 2 = 0.
4. Не решая уравнение x² + 8x + 15 = 0, найдите сумму и произведение его корней. Затем подберите корни.
5. Одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой, площадь равна 54 см². Найдите стороны прямоугольника.
6. При каком значении p уравнение x² + 8x + p = 0 имеет ровно один корень?

Ответы.
1) a = 5, b = 1, c = −4, D = 81.
2) а) x² = 9, x = 3 или x = −3; б) x(x − 6) = 0, откуда x = 0 или x = 6.
3) D = 25 + 24 = 49, x = (−5 ± 7) / 6, откуда x = 1/3 или x = −2.
4) сумма корней равна −8, произведение равно 15; корни −3 и −5.
5) x(x + 3) = 54, x² + 3x − 54 = 0, D = 225, x = 6 (корень −9 не подходит по смыслу); стороны 6 см и 9 см.
6) D = 64 − 4p = 0, откуда p = 16.

Как провести. Раздайте варианты вразбивку, чтобы соседи решали разные уравнения. Калькулятор не разрешайте, зато формулу корней можно оставить на доске, если вы так договорились с классом заранее. Просите записывать условие, ход решения и ответ: ответ без записи не засчитывайте. Первые десять минут дети обычно справляются с заданиями 1 и 2, а на текстовую задачу остаётся немного времени, поэтому предупредите об этом перед началом.

Если ваш класс сильный, замените задание 6 на уравнение, где параметр стоит при x. Если слабый, оставьте только задания 1–5 и считайте максимум 11 баллов.

Критерии оценки: баллы и отметка

Баллы ставьте за каждое задание отдельно, так видно, какой навык подвёл. Затем суммируйте и переводите в отметку.

Перевод в отметку по примерной шкале:

Если вы убрали задание 6 и считаете из 11 баллов, сохраните примерно те же доли: «5» — 10–11, «4» — 8–9, «3» — 5–7, «2» — 4 и меньше.

Вычислительную ошибку при верном ходе решения оценивайте на балл меньше, а полное отсутствие хода при верном ответе не засчитывайте: в 8 классе от ученика ждут записи решения.

После проверки полезно посмотреть на результаты класса целиком. Как посчитать процент успеваемости и качества знаний, показано отдельно.

Типичные ошибки восьмиклассников

Большинство ошибок повторяется из года в год. Ниже ошибка, причина и фраза, которую можно сказать ученику.

Хорошо работает короткий разбор: возьмите по одной типичной ошибке на каждый тип задания и решите вместе у доски неверное и верное решение рядом.

Памятка ученику: 4 шага решения квадратного уравнения

Памятка помогает не пропустить этап. Её можно выдать за урок до контрольной и разрешить пользоваться на пробной работе.

Пример по четырём шагам на уравнении из варианта 1: 2x² − 5x − 3 = 0. Шаг 1: a = 2, b = −5, c = −3. Шаг 2: уравнение полное, так как b и c не равны нулю. Шаг 3: D = (−5)² − 4·2·(−3) = 25 + 24 = 49, корни x = (5 ± 7) / 4, то есть 3 и −1/2. Шаг 4: подстановка x = 3 даёт 18 − 15 − 3 = 0, значит, корень найден верно.

Если у вас приведённое уравнение (a = 1), теорема Виета нередко быстрее дискриминанта. Но для уравнений, где a не равно 1, надёжнее формула корней.

Самостоятельная на 15 минут

Для промежуточной проверки или после небольшой темы подойдёт короткая работа из трёх заданий. Она закрывает формулу корней и теорему Виета. Для тех, кому нужна более длинная проверка, есть отдельная самостоятельная работа по квадратным уравнениям для 8 класса.

Вариант 1.
1. Решите уравнение 3x² − 12x = 0.
2. Решите уравнение x² − 6x + 5 = 0.
3. Не решая уравнение x² + 4x − 21 = 0, найдите сумму и произведение корней.

Вариант 2.
1. Решите уравнение 2x² − 18 = 0.
2. Решите уравнение x² + 2x − 8 = 0.
3. Не решая уравнение x² − 10x + 16 = 0, найдите сумму и произведение корней.

Ответы. Вариант 1: 1) x = 0 или x = 4; 2) D = 16, x = 5 или x = 1; 3) сумма равна −4, произведение равно −21 (корни −7 и 3). Вариант 2: 1) x = 3 или x = −3; 2) D = 36, x = 2 или x = −4; 3) сумма равна 10, произведение равно 16 (корни 2 и 8).

Такую работу удобно давать после темы «Квадратные уравнения» и до контрольной, а после контрольной переходить к следующей теме. Для дробно-рациональных уравнений есть похожая самостоятельная работа для 8 класса.

Как проверить и проанализировать результаты

Результаты контрольной — это карта класса: по ней видно, на каком шаге решения дети сходят с дороги. После проверки заполните лист анализа: задание, сколько учеников справились, что повторяем. Если задание 2б не получилось у половины класса, скорее всего, дети делят на x и теряют нулевой корень. Если не получилось задание 5, отработайте перевод текста в уравнение.

На следующем уроке разберите три самые частые ошибки и дайте короткую работу на их исправление. Не перегружайте урок: достаточно двух-трёх примеров, разобранных с классом.

Лист анализа можно вести в простой таблице: номер задания, число учеников, получивших полный балл, число учеников с частичным баллом, тема повторения. Так вы быстро видите, какие умения требуют внимания, и планируете повторение на ближайшую неделю. Если нужны более общие показатели по классу, посмотрите калькулятор СОУ. Тот же формат «таблица умений, два варианта, баллы» удобно держать во всей параллели: так же устроена контрольная работа по алгебре для 7 класса.

Итог: квадратные уравнения 8 класс контрольная работа по алгебре — это шесть заданий на 40 минут от неполных уравнений до параметра, 13 баллов по таблице и разбор трёх самых частых ошибок на следующем уроке.

Частые вопросы

Сколько заданий должно быть в контрольной по квадратным уравнениям?

Для темы «квадратные уравнения 8 класс контрольная работа по алгебре» обычно берут пять-шесть заданий на 40 минут. В этой работе шесть: два базовых, два средних и два повышенных. Если класс слабый, оставьте пять и снизьте максимальный балл.

Как оценить контрольную по квадратным уравнениям?

Поставьте баллы за каждое задание, сложите и переведите в отметку по шкале школы. Здесь предложена примерная шкала на 13 баллов. Границы отметок определяет положение школы об оценивании.

Нужна ли теорема Виета в контрольной в 8 классе?

Зависит от рабочей программы: в одних программах она идёт вместе с формулой корней, в других позже. Проверьте тематический план. Если теорему ещё не проходили, замените задание 4 на уравнение, где корни находят по формуле.

Как сделать вариант сложнее?

Добавьте задание с параметром, где параметр стоит при x, или уравнение, которое нужно привести к квадратному заменой. Можно ввести задачу, где после составления уравнения нужен перебор. Не усложняйте цифры: пусть сложность будет в рассуждении, а не в вычислениях.

Можно ли использовать контрольную из сборника?

Задания из учебников и дидактических материалов защищены авторским правом, поэтому не публикуйте их вместе со своими материалами. Для урока можно ориентироваться на сборник по порядку тем, а варианты составлять самому. Здесь даны задания, написанные специально.

Чем отличается проверочная работа по квадратным уравнениям от контрольной?

Проверочная короче и проверяет один навык, например формулу корней или теорему Виета. Контрольная проверяет всю тему и идёт по уровням. Проверочная работа 8 класс по квадратным уравнениям занимает 10–15 минут.