Самостоятельная работа векторы 9 класс: 2 варианта с ответами

Самостоятельная работа векторы 9 класс из пяти заданий проверяет координаты вектора, его длину, сложение и вычитание за 12–15 минут. Ниже два варианта, ключ и критерии. Главное правило, на котором держится вся работа: координаты вектора AB равны разностям координат конца и начала, то есть из координат точки B вычитают координаты точки A.

Все задания авторские, числа можно менять под свой класс. Обозначения и определения сверьте с учебником, по которому вы работаете.

Что проверяет работа

Работа проверяет пять умений из темы «Векторы» и начала метода координат. Задания идут от простого к сложному и по возрастающей нагрузке.

Первое задание: найти координаты вектора по двум точкам и его длину. Второе: сложить, вычесть векторы и умножить вектор на число, заданные координатами. Третье: выразить вектор через два других по правилу параллелограмма и вычитания. Четвёртое: проверить коллинеарность. Пятое, усиленное: найти координаты и длину линейной комбинации векторов.

Самостоятельная работа векторы 9 класс хорошо работает после двух-трёх уроков с координатами, когда дети уже решили несколько примеров по каждому правилу. Если дать её слишком рано, она покажет только то, насколько хорошо запомнилось вчерашнее объяснение. Перед уроком решите оба варианта сами и засеките время: если не укладываетесь в 15 минут, уберите пятое задание или выдайте его как дополнительное.

Вариант 1

Вариант 1 (12–15 минут)

Фамилия, имя: [ФИО]. Класс: [класс]. Дата: [дата].

1. Даны точки A(2; −1) и B(5; 3). Найдите координаты вектора AB и его длину.
2. Даны векторы a{3; −2} и b{−1; 5}. Найдите координаты векторов a + b, a − b и 2a.
3. ABCD — параллелограмм, AB = a, AD = b. Выразите через a и b векторы AC и DB.
4. Коллинеарны ли векторы a{2; −3} и b{−6; 9}? Если да, укажите, сонаправлены они или противоположно направлены.
5. Даны векторы a{4; 5} и b{2; 2}. Вычислите координаты вектора 2a − b и его длину.

Вариант 2

Вариант 2 (12–15 минут)

Фамилия, имя: [ФИО]. Класс: [класс]. Дата: [дата].

1. Даны точки C(−1; 2) и D(7; 8). Найдите координаты вектора CD и его длину.
2. Для векторов m{−2; 4} и n{5; −3} запишите координаты m + n, m − n и 3n.
3. MNKP — параллелограмм, MN = p, MP = q. Выразите через p и q векторы MK и NP.
4. Коллинеарны ли векторы c{3; −4} и d{6; 8}? Ответ обоснуйте.
5. Векторы p{3; 4} и q{1; −4}. Вычислите координаты вектора 2p − q и его длину.

Варианты равны по трудности: в каждом одно задание на координаты по точкам, одно на действия с векторами, одно на правило параллелограмма, одно на коллинеарность и одно усиленное. В четвёртом задании ответы разные специально: в одном варианте векторы коллинеарны, в другом нет, так что подсмотренный у соседа ответ не подойдёт.

Ответы и образец решения

Ключ для проверки. Все числа проверены вычислением.

Ключ к обоим вариантам
Задание	Вариант 1	Вариант 2
1	AB{3; 4},	AB	= 5	CD{8; 6},	CD	= 10
2	a + b{2; 3}, a − b{4; −7}, 2a{6; −4}	m + n{3; 1}, m − n{−7; 7}, 3n{15; −9}
3	AC = a + b, DB = a − b	MK = p + q, NP = q − p
4	да, b = −3a, противоположно направлены	нет: отношения 2 и −2 разные
5	{6; 8}, длина 10	{5; 12}, длина 13

Образец решения координатной задачи (вариант 1, задание 1). Координаты вектора равны разностям координат конца и начала: AB{5 − 2; 3 − (−1)} = {3; 4}. Длину ищем по формуле |AB| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Образец для задания 3 (вариант 2). По правилу параллелограмма диагональ MK равна сумме векторов MN и MP, то есть MK = p + q. Для NP идём от N к M и дальше к P: NP = NM + MP = −p + q = q − p.

Образец для задания 4 (вариант 2). Векторы коллинеарны, если координаты одного пропорциональны координатам другого. Отношение первых координат 6 / 3 = 2, вторых 8 / (−4) = −2. Числа разные, значит, коллинеарности нет.

Образец для задания 5 (вариант 2). Сначала умножаем: 2p{6; 8}. Затем вычитаем q{1; −4}: {6 − 1; 8 − (−4)} = {5; 12}. Длина |{5; 12}| = √(25 + 144) = √169 = 13.

Базовый и усиленный уровень

Пять заданий выше рассчитаны на весь класс. Для тех, кто закончил раньше, или для класса с углублённой программой подготовьте три дополнительные задачи.

Дополнительные задания

1. Докажите, что точки A(−3; 1), B(1; 4) и C(5; 7) лежат на одной прямой.
2. ABCD — параллелограмм, A(1; 1), B(4; 2), C(6; 5). Найдите координаты точки D.
3. При каком значении k векторы a{2; k} и b{6; 9} коллинеарны?

Ответы. Первое: AB{4; 3} и BC{4; 3} равны, значит, точки лежат на одной прямой и B делит отрезок AC пополам. Второе: в параллелограмме AD = BC = {2; 3}, поэтому D(1 + 2; 1 + 3) = (3; 4). Третье: 2 / 6 = k / 9, откуда k = 3.

Учителю стоит заранее решить дополнительные задачи сам: так вы увидите, какие шаги вызовут вопросы.

Как оформлять решение

Договоритесь с классом об одном виде записи, и проверять станет вдвое быстрее. Для задачи на координаты удобна такая форма: сначала запись «Дано» с точками, затем формула в общем виде, затем подстановка, затем ответ. Например: AB{x₂ − x₁; y₂ − y₁} = {5 − 2; 3 − (−1)} = {3; 4}. Формула перед подстановкой сразу показывает, где ученик перепутал порядок вычитания.

Для задания на правило параллелограмма требуйте чертёж: подписанные вершины и стрелки на сторонах. Без чертежа ответ AC = a + b часто просто угадан, а рисунок показывает, понимает ли ребёнок, откуда он берётся.

Шпаргалка формул для доски

Таблицу удобно разместить на доске при разборе работы. Перед самой работой её лучше закрыть.

Основные формулы
Что находим	Формула
Координаты вектора AB по точкам A(x₁; y₁), B(x₂; y₂)	AB{x₂ − x₁; y₂ − y₁}
Длина вектора a{x; y}		a	= √(x² + y²)
Сумма a{x₁; y₁} и b{x₂; y₂}	{x₁ + x₂; y₁ + y₂}
Разность	{x₁ − x₂; y₁ − y₂}
Умножение на число k	ka{kx; ky}
Коллинеарность (b = ka)	x₂ / x₁ = y₂ / y₁, если координаты не равны нулю

Сверьте обозначения со своим учебником: в некоторых пособиях вектор записывают в круглых скобках, в других в фигурных, и это стоит показать детям один раз.

Критерии оценки

За работу можно получить 10 баллов. Пороги примерные, итоговую шкалу берите из положения об оценивании своей школы.

Баллы и отметки
Задание	Баллы	За что
1	2	1 балл за координаты, 1 за длину
2	3	по 1 баллу за каждое действие
3	2	по 1 баллу за каждый вектор
4	1	верный вывод с проверкой пропорции
5	2	1 балл за координаты, 1 за длину
Отметка	5: 9–10 баллов; 4: 7–8; 3: 5–6; 2: меньше 5	пороги примерные

Если школьник верно нашёл координаты, но ошибся в корне, он теряет только один балл. Так видно, что ученик понимает векторную часть, а подводит вычисление.

Типичные ошибки

Что чаще всего путают

Находят координаты вектора как «начало минус конец». Получают AB{−3; −4} вместо {3; 4}. Правильно: из координат конца вычитают координаты начала. Подсказка: читаем вектор AB слева направо, B минус A.
Путают точки и векторы. Складывают координаты двух точек и называют это вектором. Правильно: координаты вектора по точкам — это разность «конец минус начало», складывают только векторы.
Ошибаются в знаке при вычитании. В a − b = {3 − (−1); −2 − 5} пишут первую координату 2 вместо 4. Правильно: берите отрицательные числа в скобки и помните, что 3 − (−1) = 3 + 1 = 4.
Забывают корень при длине. Пишут |AB| = 3² + 4² = 25. Правильно: длина равна √25 = 5.
Путают разность в правиле параллелограмма. Вместо NP = q − p пишут p − q. Правильно: двигайтесь от точки к точке по сторонам фигуры и запишите путь.

Частая картина после такой работы: у многих всё найдено верно, но потеряны знаки при вычитании, а у некоторых вообще нет чертежа в третьем задании. Для первой проверочной по теме это обычное дело, и пугаться отметок не стоит.

Хорошая профилактика большинства таких ошибок: просить детей подписывать координаты точек на чертеже и писать формулу перед подстановкой.

Если у вас 10–11 класс

Работа рассчитана на 9 класс, но её приёмы годятся и старшим ребятам. Если вы ищете самостоятельную работу по векторам для 11 класса, возьмите те же задания и переведите их в пространство: добавьте третью координату, длину вектора √(x² + y² + z²), скалярное произведение и угол между векторами. Скалярное произведение на плоскости во многих учебниках 9 класса (например, у Атанасяна) идёт отдельной главой после метода координат, поэтому в этой работе его нет: дайте его следующей проверкой. Состав тем для 10–11 класса зависит от программы и уровня класса, сверьтесь с рабочей программой и учебником.

Для повторения формулы длины пригодится самостоятельная работа по теореме Пифагора: длина вектора по координатам вычисляется тем же способом.

Как провести

Порядок на уроке

Раздайте варианты и напишите на доске время окончания. Шпаргалку с формулами закройте.
Первые пять минут не подсказывайте. Пусть дети сами вспомнят правила.
На шестой минуте напомните о третьем задании: оно требует чертежа, а на чертёж нужно время.
Соберите листы за минуту до звонка. Не ждите, пока закончат все.
На следующем уроке разберите одну общую ошибку у доски и верните работы с баллами за каждое задание.

Когда самостоятельная работа векторы 9 класс проверена, разложите листы на три стопки: без ошибок, с ошибкой в вычислениях, с ошибкой в самом правиле. Первым дайте дополнительные задания, вторым достаточно ещё нескольких примеров на счёт, третьим нужен повторный разбор у доски. Если правило перепутала половина класса, вернитесь к теме до того, как двигаться дальше по плану.

Если вы строите серию проверочных по геометрии, посмотрите, как устроена контрольная работа по геометрии за 7 класс, и сравните формат: он помогает выдерживать единый стиль работ по разным классам. Для алгебры 9 класса есть соседняя самостоятельная работа по арифметической прогрессии.

Итог: самостоятельная работа векторы 9 класс из этой статьи — два равных варианта на 12–15 минут, ключ и шкала на 10 баллов. Объясняя ошибки, сравните вектор с маршрутом в навигаторе: важна не только длина пути, но и откуда и куда едем, поэтому из координат конца всегда вычитаем координаты начала.

Частые вопросы

Что такое вектор?

Вектор — это направленный отрезок: у него есть начало, конец и длина. Вектор AB идёт от точки A к точке B. Длину вектора называют модулем и записывают |AB|.

Как найти координаты вектора?

Из координат конца вычтите координаты начала. Для A(2; −1) и B(5; 3) получаем AB{5 − 2; 3 − (−1)} = {3; 4}. Порядок важен: начало и конец менять местами нельзя, иначе знаки изменятся.

Как сложить векторы по координатам?

Сложите отдельно первые координаты и отдельно вторые. Для a{3; −2} и b{−1; 5} сумма равна {3 + (−1); −2 + 5} = {2; 3}. Вычитание работает так же: координаты вычитают.

Какой вектор называют нулевым?

Нулевой вектор — это вектор, у которого начало совпадает с концом, например AA. Его длина равна нулю, а направления у него нет. Координаты нулевого вектора равны {0; 0}.

Чем равные векторы отличаются от противоположных?

Равные векторы сонаправлены и имеют одинаковую длину. Противоположные векторы имеют одинаковую длину, но направлены в разные стороны, и их координаты отличаются знаком. Например, {3; 4} и {−3; −4} противоположны.