Вынесение общего множителя за скобки 7 класс: самостоятельная

Вынесение общего множителя за скобки 7 класс: ниже самостоятельная работа на 12 минут в двух равноценных вариантах, которая заодно проверяет способ группировки, а к ней ключ, критерии и типичные ошибки. Чтобы вынести общий множитель, найдите наибольший общий делитель коэффициентов и общие буквы в наименьшей степени, а затем разделите на них каждое слагаемое.

Все задания авторские: числа и буквы можно менять под свой класс. Порядок тем и формулировки сверьте с учебником, по которому вы работаете.

Что проверяет работа

Эта самостоятельная работа по алгебре проверяет пять умений из темы про разложение многочленов. Это ровно то, что обычно нужно увидеть до контрольной. Вынесение общего множителя за скобки 7 класс проходит в начале этой темы, и от того, как дети справятся с ним, зависит всё остальное: группировка и формулы сокращённого умножения опираются на тот же приём.

Первое задание: вынести одночлен из двух и трёх слагаемых, в том числе с минусом впереди. Второе: вынести целый двучлен, стоящий в скобках. Третье: разложить четырёхчлен способом группировки. Четвёртое: решить уравнение вида x² − 7x = 0, разложив левую часть на множители. Пятое: посчитать значение выражения удобным способом.

Работу удобно давать в конце темы, когда дети уже прошли оба приёма и один-два урока тренировались на смешанных примерах. Сразу после объяснения её лучше не давать: ученики ещё путают, в каком случае скобку выносят, а в каком раскрывают. Если нужна проверка в форме контрольной, посмотрите контрольную работу по алгебре за 7 класс: там тема стоит рядом с формулами сокращённого умножения и действиями с многочленами.

Вариант 1

Вариант 1 (12 минут)

Фамилия, имя: [ФИО]. Класс: [класс]. Дата: [дата].

1. Вынесите общий множитель за скобки:
   а) 12x − 18y;
   б) 5a³ − 15a²;
   в) −8m²n + 12mn².
2. Представьте в виде произведения: x(a + 3) − 5(a + 3).
3. Представьте в виде произведения способом группировки: ax + ay + 3x + 3y.
4. Решите уравнение, представив левую часть в виде произведения: x² − 7x = 0.
5. Вычислите удобным способом: 37 · 18 + 37 · 22.

Вариант 2

Вариант 2 (12 минут)

Фамилия, имя: [ФИО]. Класс: [класс]. Дата: [дата].

1. Вынесите общий множитель за скобки:
   а) 15a − 25b;
   б) 6x⁴ − 9x²;
   в) −10p²q + 15pq².
2. Разложите на множители: 4(b − 2) − y(b − 2).
3. Разложите на множители способом группировки: bx − by + 2x − 2y.
4. Решите уравнение, разложив левую часть на множители: x² + 5x = 0.
5. Вычислите удобным способом: 29 · 35 + 29 · 65.

Варианты построены по одной схеме: числа и буквы разные, трудность одна, поэтому списать у соседа по парте сложнее. Если класс сильный, добавьте в первое задание четвёртый пример, например 18a²b³ − 24a³b².

Ответы и образцы решения

Ключ для проверки. Все ответы проверены вычислением, в том числе раскрытием скобок.

Ключ к обоим вариантам
Задание	Вариант 1	Вариант 2
1а	6(2x − 3y)	5(3a − 5b)
1б	5a²(a − 3)	3x²(2x² − 3)
1в	−4mn(2m − 3n)	−5pq(2p − 3q)
2	(a + 3)(x − 5)	(b − 2)(4 − y)
3	(x + y)(a + 3)	(x − y)(b + 2)
4	x = 0 и x = 7	x = 0 и x = −5
5	37 · 40 = 1480	29 · 100 = 2900

Образец оформления группировки для варианта 1, задание 3. Сначала объединяем слагаемые в пары, у которых есть общая часть: (ax + ay) + (3x + 3y). Выносим из первой пары a, из второй 3: a(x + y) + 3(x + y). Теперь в обоих слагаемых одна и та же скобка, её тоже выносим: (x + y)(a + 3).

Образец для задания 4. Выносим x: x(x − 7) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, значит x = 0 или x − 7 = 0, то есть x = 7.

Образец для задания 1в. Наибольший общий делитель чисел 8 и 12 равен 4, общие буквы m и n берём в наименьшей степени. Выносим −4mn, и знаки в скобках меняются на противоположные: −4mn(2m − 3n). Проверка: −4mn · 2m = −8m²n, −4mn · (−3n) = +12mn², всё совпало.

Образец для задания 2 (вариант 2). Общая скобка здесь (b − 2), она стоит в обоих слагаемых. Выносим её и в другой скобке записываем то, что осталось: 4 − y. Получается (b − 2)(4 − y). Перед вторым слагаемым стоит минус, поэтому в оставшейся скобке он идёт перед y.

Образец для задания 5 (вариант 1). В обоих слагаемых есть число 37. Выносим его: 37 · (18 + 22) = 37 · 40 = 1480. Считать каждое произведение отдельно можно, но это дольше и легче ошибиться.

Если нужна работа посложнее

Для сильного класса или для повторения перед контрольной добавьте три задания повышенного уровня, к ним ключ тоже готов.

Дополнительные задания

1. Вынесите общую часть за скобки: 18a²b³ − 24a³b² + 6a²b².
2. Разложите на множители: 2x(y − 1) + 3(1 − y).
3. Представьте произведением способом группировки: 2ax − 3by + 6ay − bx.

Ответы. Первое: 6a²b²(3b − 4a + 1). Второе: (y − 1)(2x − 3), потому что 1 − y = −(y − 1), и вторая часть превращается в −3(y − 1). Третье: сгруппируем 2ax − bx и 6ay − 3by, получится x(2a − b) + 3y(2a − b) = (2a − b)(x + 3y).

Критерии оценки

За работу можно получить 10 баллов. Пороги ниже примерные, итоговую шкалу берите из положения об оценивании вашей школы.

Баллы и отметки
Задание	Баллы	За что
1 (а, б, в)	3	по 1 баллу за каждый верный пример
2	1	вынесена общая скобка, второй множитель верный
3	2	1 балл за верную группировку, 1 за итог
4	2	1 балл за разложение, 1 за оба корня
5	2	1 балл за вынесение числа, 1 за вычисление
Отметка	5: 9–10 баллов; 4: 7–8; 3: 5–6; 2: меньше 5	пороги примерные

Частичные баллы удобны для слабых учеников: ребёнок, который нашёл общий множитель, но ошибся в знаке, всё равно видит, что часть пути пройдена. Об ошибке при этом лучше поговорить на уроке разбора.

Типичные ошибки

Что чаще всего теряют дети

Теряют единицу. В выражении a² + a после вынесения a в скобках остаётся a + 1: без единицы получится a · a = a², и второе слагаемое потеряется. Объяснение: слагаемое a разделили само на себя, получилась единица. Правильно: a(a + 1), проверка раскрытием скобок это показывает.
Ошибаются в знаке при выносе минуса. Вынесли −4, а знаки в скобках оставили прежними. Правильно: после вынесения минуса знаки всех слагаемых в скобках меняются.
Берут не наименьшую степень. В 5a³ − 15a² выносят a³, хотя во втором слагаемом a только во второй степени. Правильно: из каждого слагаемого можно вынести только то, что в нём есть, то есть a².
Группируют без общей скобки. Из пар вынесли множители, а в скобках получились разные выражения. Значит, пары подобраны неудачно: переставьте слагаемые или сгруппируйте иначе.
Решают уравнение, не доведя до двух корней. Остановились на x(x − 7) = 0. Правильно: приравняйте к нулю каждый множитель отдельно.

Лучшая профилактика всех пяти ошибок одна: привычка проверять ответ раскрытием скобок. Когда вынесение общего множителя за скобки 7 класс закреплено этим приёмом, ошибки со знаками уходят заметно быстрее. На это уходит полминуты, и ученик сам видит, потерялась ли единица или знак.

Шпаргалка: алгоритм в 4 шага и способ группировки

Для доски годится короткая таблица из четырёх шагов. Её можно оставить открытой на тренировочных уроках и закрыть перед работой.

Алгоритм вынесения общего множителя
Шаг	Что делаем	Пример: 20ab − 10ab²
1	Находим НОД коэффициентов	НОД(20; 10) = 10
2	Берём общие буквы в наименьшей степени	a и b
3	Записываем общий множитель	10ab
4	Делим каждое слагаемое и пишем в скобках	10ab(2 − b)

Если с вынесением общего множителя за скобки 7 класс справляется почти весь класс, переходите к группировке: она нужна, когда у всех слагаемых общего множителя нет. Метод группировки в 7 классе удобно проверять тем же листом: задание 3 каждого варианта и задание 3 из дополнительных. Слагаемые объединяют в группы так, чтобы в каждой группе общий множитель нашёлся, а после его вынесения в скобках получились одинаковые выражения. Тогда эту скобку выносят как общий множитель.

Школьные программы разные, поэтому в учебнике порядок приёмов может отличаться: чаще всего в теме разложения на множители идут вынесение множителя, группировка, формулы сокращённого умножения и их сочетание. Эти четыре способа дети обычно и называют. Сверьте порядок со своим учебником. Тренировку на формулы сокращённого умножения можно взять из контрольной по формулам сокращённого умножения.

Как провести за 12 минут

Порядок на уроке

Раздайте варианты и напишите на доске время окончания. Алгоритм с доски перед работой уберите.
Три минуты на первое задание, ещё две на второе. Если часть класса справилась быстро, не торопите остальных.
Следите за четвёртым заданием: именно здесь чаще всего не хватает времени на проверку.
Соберите листы за минуту до звонка, не дожидаясь, пока все закончат.
На следующем уроке разберите у доски одну самую частую ошибку: все сразу дети не запомнят.

Для тех, кто закончил раньше всех, держите наготове карточку с дополнительными заданиями. Так в классе не возникает пауза, а у вас есть материал для сильных учеников.

Самостоятельную работу в конце темы нужно давать с запасом времени. Если вы видите, что ваш класс не укладывается в 12 минут, уберите пятое задание.

Итог: вынесение общего множителя за скобки 7 класс проверяйте одним листом вместе с группировкой — 12 минут, два варианта, ключ и шкала на 10 баллов. Общая часть слагаемых похожа на общий чемодан: то, что есть у каждого, выносим за скобку, а внутри остаётся только своё. А проверка раскрытием скобок ловит потерянную единицу и знак.

Частые вопросы

В чём заключается способ группировки?

Способ группировки разлагает многочлен на множители, объединяя слагаемые в группы с общим множителем. Из каждой группы выносят этот множитель, и если в скобках остаются одинаковые выражения, их выносят ещё раз. Например, ax + ay + 3x + 3y = a(x + y) + 3(x + y) = (x + y)(a + 3).

Как разложить a² − 9 на множители?

Здесь общего множителя нет, поэтому используют формулу разности квадратов: a² − 9 = (a − 3)(a + 3). Проверка: (a − 3)(a + 3) = a² + 3a − 3a − 9 = a² − 9. Эта формула изучается в теме формул сокращённого умножения.

Сколько способов разложения многочлена на множители изучают?

Обычно называют четыре: вынесение общего множителя, способ группировки, формулы сокращённого умножения и сочетание нескольких способов. Точный порядок и состав зависят от учебника, сверьтесь с вашим.

Как проверить результат, раскрыв скобки?

Умножьте вынесенный одночлен на каждое слагаемое в скобках и сложите. Если получился исходный многочлен, разложение верное. Например, 5a²(a − 3) = 5a³ − 15a², это совпадает с условием.

Чем самостоятельная работа отличается от контрольной?

Самостоятельная короче, обычно 10–15 минут, проверяет одну-две темы и нужна, чтобы увидеть пробелы до контрольной. Если нужна контрольная работа по этой теме, соберите её из этих двух вариантов и дополнительных заданий, добавив задания на формулы сокращённого умножения. Контрольная длиннее, охватывает тему целиком, и отметка за неё чаще идёт в итоговые. Как оценивать, смотрите в положении вашей школы.

Какие задания ещё можно дать по соседним темам?

Для повторения перед этой работой подойдёт самостоятельная по сложению и вычитанию многочленов: она готовит детей к вынесению множителя и показывает, как ученики обращаются со знаками.