Квадратные уравнения 8 класс самостоятельная работа: 2 варианта с ответами
Квадратные уравнения 8 класс самостоятельная работа на 10–15 минут проверяет три умения: решать неполные уравнения, считать дискриминант и записывать ответ без потерянных корней. Ниже два равноценных варианта по пять заданий, ответы, баллы и разбор типичных ошибок. Всё можно распечатать и дать классу без доработки.
Что проверяет самостоятельная и когда её давать
Самостоятельная работа «Квадратные уравнения» проверяет один блок темы, поэтому её можно давать раньше контрольной. Самостоятельная даёт самый чистый срез, если провести её после двух-трёх уроков по теме, когда способы уже показаны, но класс ещё не ушёл на контрольную. Она короче контрольной: одна тема, пять заданий, никакого повышенного уровня. Контрольная работа охватывает главу целиком, а самостоятельная работает как фонарик: освещает один участок темы и показывает, кто на каком шаге спотыкается. Полную версию на урок мы разобрали в статье про контрольную работу по квадратным уравнениям.
В листе ниже задания идут по нарастанию сложности, и каждое проверяет свой навык:
- неполное уравнение вида ax² + c = 0: умеет ли ученик перенести число и извлечь корень, не забыв про два знака;
- неполное уравнение вида ax² + bx = 0: выносит ли x за скобки или делит на x и теряет корень;
- полное уравнение через дискриминант: аккуратность со знаками;
- уравнение с чётным вторым коэффициентом: понимает ли ученик, что формула с половиной коэффициента короче;
- текстовая задача: умеет ли составить уравнение и отбросить корень, который не подходит по смыслу.
Время — 10–15 минут из урока в 45 минут, остальное уходит на разбор. Если тему проходили быстро, поставьте работу вторым этапом урока, после устного повторения формул.
Самостоятельная работа в 2 вариантах
Числа подобраны так, чтобы корни получались целыми или простыми дробями, а варианты были равны по трудности. Задания составлены для этой статьи, ответы к каждому проверены подстановкой корней.
Фамилия, имя: [ФИО] Класс: [класс] Дата: [дата] ВАРИАНТ 1 1. Решите: 3x² − 27 = 0. 2. Решите: 5x² + 20x = 0. 3. Решите: 2x² − 5x − 3 = 0. 4. Решите: x² − 10x + 21 = 0 (удобно использовать формулу с половиной второго коэффициента). 5. Одна сторона прямоугольника на 3 см больше другой, площадь равна 40 см². Найдите стороны прямоугольника. ВАРИАНТ 2 1. Решите: 2x² − 50 = 0. 2. Решите: 4x² − 12x = 0. 3. Решите: 2x² + 7x + 3 = 0. 4. Решите: x² + 8x + 12 = 0 (удобно использовать формулу с половиной второго коэффициента). 5. Одна сторона прямоугольника на 4 см больше другой, площадь равна 45 см². Найдите стороны прямоугольника.
Распечатайте на половинке листа, ответы пишут прямо под условием. Текстовую задачу можно заменить своей, если в классе уже решали задачи на площадь. Главное, чтобы получалось уравнение, у которого один корень отрицательный и не подходит по смыслу.
Свои варианты легко собрать за пять минут, если идти от ответа. Выберите корни, например 2 и −3, и раскройте скобки: (x − 2)(x + 3) = x² + x − 6. Умножьте на нужный старший коэффициент, и получится квадратное с красивыми корнями. Дискриминант при этом сам окажется полным квадратом, и проверять работу будет приятно.
Ответы и критерии оценки
Максимум за работу — 8 баллов. Ответы и баллы сведены в таблицу, проверяйте по ней с ручкой в руках.
| Задание | Какой навык | Вариант 1 | Вариант 2 | Баллы |
|---|---|---|---|---|
| 1 | неполное, ax² + c = 0 | x = −3; x = 3 | x = −5; x = 5 | 1 |
| 2 | неполное, ax² + bx = 0 | x = −4; x = 0 | x = 0; x = 3 | 1 |
| 3 | дискриминант | D = 49; x = 3; x = −1/2 | D = 25; x = −3; x = −1/2 | 2 (1 за D, 1 за корни) |
| 4 | чётный второй коэффициент | x = 3; x = 7 | x = −6; x = −2 | 2 (1 за ход, 1 за корни) |
| 5 | текстовая задача | 5 см и 8 см | 5 см и 9 см | 2 (1 за уравнение, 1 за ответ) |
Примерная шкала перевода в отметку: 7–8 баллов — «5», 5–6 — «4», 3–4 — «3», 0–2 — «2». Итоговое решение за вами и положением об оценивании вашей школы: сверьте, как у вас принято переводить баллы и ставить отметки за самостоятельные.
Для проверки задачи 5 полезно знать решение. Вариант 1: x(x + 3) = 40, x² + 3x − 40 = 0, D = 169, корни 5 и −8, подходит 5, вторая сторона 8. Вариант 2: x(x + 4) = 45, x² + 4x − 45 = 0, D = 196, корни 5 и −9, подходит 5, вторая сторона 9.
Короткая шпаргалка по теме для проверяющего
Если проверяете в метро или в учительской, не открывая учебник, вот всё, что нужно держать в голове.
Неполные квадратные уравнения
Неполное уравнение решается без дискриминанта, и ответ у него бывает разным.
| Вид | Как решать | Сколько корней |
|---|---|---|
| ax² = 0 | x = 0 | один корень, 0 |
| ax² + bx = 0 | вынести x: x(ax + b) = 0 | два корня: 0 и −b/a |
| ax² + c = 0 | x² = −c/a | два корня при −c/a > 0, нет корней при −c/a < 0 |
Дискриминант и число корней
Сколько корней у квадратного уравнения, говорит знак дискриминанта D = b² − 4ac.
| Знак D | Число корней | Формула |
|---|---|---|
| D > 0 | два | x = (−b ± √D) / (2a) |
| D = 0 | один (два совпадающих) | x = −b / (2a) |
| D < 0 | нет действительных корней | — |
| b чётное, k = b/2, D₁ = k² − ac | по знаку D₁ так же | x = (−k ± √D₁) / a |
Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 работает теорема Виета: сумма корней равна −p, произведение равно q. Хороший способ быстро проверить ответ ученика, не решая заново.
Типичные ошибки восьмиклассников
Эти ошибки повторяются из года в год, и в тетради их видно сразу.
Подсказка для урока разбора: пусть ученик подставит свой корень в уравнение. Подстановка занимает полминуты и ловит почти все вычислительные ошибки.
Как провести работу пошагово
Порядок проведения
- Посадите по вариантам и раздайте листы заранее вниз текстом, чтобы начали одновременно.
- Объявите время: 12 минут и сигнал за две минуты до конца.
- Разрешите пользоваться черновиком, но формулы на доске закройте. Если школа допускает формулы в тетради, договоритесь об этом до работы.
- Соберите листы и сразу раздайте ключ классу: пусть обменяются листами с соседом по парте и поставят баллы по ключу, а вы проверите выборочно.
- Разберите на доске только те задания, где ошиблись больше пяти человек.
- Отметки выставьте за ту работу, которую проверили вы, а не за взаимопроверку.
Оценивать ли самостоятельную в журнал, решает ваше положение. Часто отметка за короткую работу идёт с пометкой «по желанию ученика», но это вопрос школьных правил.
Как адаптировать: для слабого класса и для сильного
Квадратные уравнения 8 класс самостоятельная работа легко подстраивается под уровень класса. Для слабого сократите работу до трёх заданий и дайте на 7–8 минут. Такой лист хорошо работает как разминка перед основной самостоятельной.
1. Решите: x² − 49 = 0. 2. Решите: x² + 5x = 0. 3. Решите: x² − 6x + 8 = 0. Ответы: 1) x = −7; x = 7. 2) x = −5; x = 0. 3) D = 4; x = 2; x = 4. Баллы: по 1 за задание. «3» — 2 балла, «4» — 3 балла (шкала примерная).
Для слабого класса оставьте на доске алгоритм из трёх шагов: записать a, b, c, посчитать D, подставить в формулу. Ученик, который идёт по алгоритму, редко теряется. Решение квадратных уравнений в 8 классе на алгебре держится именно на этих трёх шагах, поэтому в самостоятельной работе проверяйте запись каждого шага, а не только ответ.
Для сильного класса добавьте задание с параметром: при каком значении b уравнение x² + bx + 9 = 0 имеет один корень? Решение: D = b² − 36 = 0, значит, b = 6 или b = −6. Это шестое задание на 1 балл сверху, оно ни на что не влияет в отметке, но позволяет сильному ученику не скучать.
Преобразование выражений с квадратными корнями
Тему «Квадратные корни» по большинству программ проходят перед квадратными уравнениями, и без неё не извлечь корень из дискриминанта. Если навык слабый, дайте перед основной работой мини-самостоятельную на 5 минут: преобразование выражений, содержащих квадратные корни, и свойства арифметического корня — корень из произведения (√12 · √3 = √36), вынесение множителя из-под знака корня (√50 = 5√2) и квадрат суммы с корнем.
1. Вычислите: √12 · √3. 2. Упростите: √50 − √8. 3. Упростите: (√5 + 1)² − 2√5. Ответы: 1) 6. 2) 3√2. 3) 6.
Что делать, если класс написал плохо
Если больше трети класса не справилось, это повод повторить тему и подождать с двойками. Посмотрите, на каком задании провал: если на третьем, класс не усвоил дискриминант, если на втором — потерян корень x = 0.
Дайте через два-три дня короткую работу по тому же виду с другими числами. Для этого подойдёт второй вариант из этой статьи или работа про дробно-рациональные уравнения, где квадратные уравнения встречаются внутри другой темы. Статистику класса удобно считать по проценту успеваемости и качества знаний. Если у кого-то провал по всем видам сразу, причина, скорее всего, в вычислениях: поговорите с учеником отдельно.
Итог: квадратные уравнения 8 класс самостоятельная работа — пять заданий на 10–15 минут, два равноценных варианта, баллы по заданиям и короткий повтор через два-три дня для тех, кто споткнулся.
Частые вопросы
Сколько заданий в самостоятельной по квадратным уравнениям?
Пять заданий на 10–15 минут подходят для большинства классов. Для слабого класса хватит трёх, для сильного добавьте шестое с параметром.
Сколько времени давать?
12 минут при пяти заданиях, 7–8 минут при трёх. Текстовая задача занимает больше всего времени, поэтому её ставят последней.
Как оценивать самостоятельную?
Сложите баллы за задания и переведите по шкале, принятой в школе. Предложенная выше шкала примерная: сверьте её с положением об оценивании вашей организации.
Чем самостоятельная отличается от контрольной?
Самостоятельная короче и проверяет одну тему или даже один подвид, а контрольная охватывает главу и идёт на целый урок. Самостоятельную можно давать чаще, контрольную планируют заранее по тематическому плану.
Какие неполные квадратные уравнения дают в самостоятельной?
Три вида: ax² = 0, ax² + bx = 0 и ax² + c = 0. Первое даёт один корень, второе всегда два (один из них ноль), у третьего корней два или ни одного.
Где взять ответы?
Ответы даны в таблице выше вместе с решением текстовой задачи. Если меняете числа, проверьте их подстановкой: корни должны быть целыми или простыми дробями, а дискриминант — полным квадратом.
Ещё в разделе «Оценивание, ВПР, ОГЭ»
