Самостоятельная работа дробно рациональные уравнения 8 класс

ОДЗ, общий знаменатель и проверка корней — три шага, на которых восьмиклассники чаще всего теряют баллы в дробно-рациональных уравнениях. Ниже самостоятельная работа дробно рациональные уравнения 8 класс в двух вариантах на 10–15 минут, с ответами, баллами и разбором ошибок. Все уравнения свои, каждое решено и проверено подстановкой.

Что проверяет работа и когда её давать

Давайте работу после того, как класс решил на уроках пять-шесть примеров с общим знаменателем и услышал слова «посторонний корень» хотя бы раз. Раньше смысла нет: ученики ещё не вспомнят про ОДЗ.

Пять заданий идут по нарастающей: найти ОДЗ, решить пример с общим знаменателем, решить пример с посторонним корнем, решить пропорцию вида «дробь равна дроби», составить равенство по задаче. Так вы видите, на каком шаге ученик ломается. Название темы («дробные рациональные» или «дробно-рациональные») и порядок тем сверьте с вашим учебником и рабочей программой.

Задача 5 и задание 3 приводят к квадратным уравнениям. Если вы их ещё не проходили, возьмите облегчённый вариант из раздела про разминку и слабый класс.

Памятка: алгоритм решения и ОДЗ

Чтобы решить дробно-рациональное уравнение, найдите ОДЗ, умножьте обе части на общий знаменатель, решите получившееся уравнение и вычеркните корни, не входящие в ОДЗ. Алгоритм удобно держать на доске всё время работы. ОДЗ похожа на список дверей с табличкой «вход запрещён»: выписать их надо до того, как пошли решать, иначе в конце не с чем сверить найденные корни.

Шаг	Что делаем	Что проверяем
1. ОДЗ	Приравниваем каждый знаменатель к нулю и выписываем запрещённые значения x	Не пропущен ни один знаменатель
2. Общий знаменатель	Находим самый простой общий знаменатель всех дробей	Разложены ли знаменатели на множители
3. Освобождаемся от дробей	Умножаем обе части на общий знаменатель, сокращаем	Умножили каждое слагаемое, в том числе целое число
4. Решаем	Решаем получившееся линейное или квадратное уравнение	Знаки при раскрытии скобок
5. Проверка по ОДЗ	Сравниваем корни с запрещёнными значениями	Корень из ОДЗ вычёркиваем, это посторонний корень
6. Ответ	Записываем оставшиеся корни или «корней нет»	Ответ согласован с условием задачи

Для равенства «дробь равна дроби» есть короткий путь: при ненулевых знаменателях произведения «крест-накрест» равны. Он заменяет шаги 2 и 3, но ОДЗ остаётся обязательной.

Образец для разбора у доски: 6/(x − 1) = 3/(x + 2). ОДЗ: x ≠ 1 и x ≠ −2. Перемножаем крест-накрест: 6(x + 2) = 3(x − 1), то есть 6x + 12 = 3x − 3, откуда 3x = −15 и x = −5. Число −5 не равно 1 и −2, значит, корень подходит. Проверка: слева 6/(−6) = −1, справа 3/(−3) = −1. Такой разбор занимает две минуты, и после него ученики сами называют шаги по таблице. Если время есть, попросите двух-трёх человек объяснить у доски, почему нельзя просто «перенести x в другую часть и сократить»: на этом вопросе хорошо видно, кто понял идею общего знаменателя, а кто заучил порядок действий.

Самостоятельная работа в 2 вариантах

Время 12–15 минут. В задаче 5 пусть ученики сначала запишут, что обозначили за x, и только потом составят уравнение.

Вариант 1: самостоятельная работа дробно рациональные уравнения 8 класс

Фамилия, имя: [ФИО]   Класс: [класс]   Дата: [дата]

1. Найдите ОДЗ: 7/(x − 3) + x/(x + 6) = 2
2. Решите: 3/x + 5/(2x) = 11/4
3. Решите и определите лишний корень: x²/(x − 2) = (3x − 2)/(x − 2)
4. Решите: 4/(x − 3) = 6/(x + 1)
5. Моторная лодка прошла 24 км по течению реки и 16 км против течения, потратив на весь путь 4 часа. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Вариант 2: самостоятельная работа дробно рациональные уравнения 8 класс

Фамилия, имя: [ФИО]   Класс: [класс]   Дата: [дата]

1. Найдите ОДЗ: 5/(x + 2) − x/(x − 7) = 3
2. Решите: 2/x + 5/(3x) = 11/9
3. Решите и определите лишний корень: (x² + x)/(x + 3) = 6/(x + 3)
4. Решите: 3/(x + 2) = 5/(x − 4)
5. Теплоход прошёл 30 км по течению реки и 36 км против течения, потратив на весь путь 6 часов. Скорость течения 3 км/ч. Найдите собственную скорость теплохода.

Ответы и критерии оценки

Ответы с короткими решениями, чтобы можно было сверять у доски.

Задание	Вариант 1	Вариант 2
1	x ≠ 3, x ≠ −6	x ≠ −2, x ≠ 7
2	Умножаем на 4x: 12 + 10 = 11x, x = 2	Умножаем на 9x: 18 + 15 = 11x, x = 3
3	x² − 3x + 2 = 0, корни 1 и 2; x = 2 не входит в ОДЗ. Остаётся 1	x² + x − 6 = 0, корни 2 и −3; x = −3 не входит в ОДЗ. Остаётся 2
4	4(x + 1) = 6(x − 3), x = 11	3(x − 4) = 5(x + 2), x = −11
5	24/(x + 2) + 16/(x − 2) = 4, откуда x² − 10x = 0; x = 0 не подходит по смыслу. Скорость 10 км/ч	30/(x + 3) + 36/(x − 3) = 6, откуда x² − 11x − 12 = 0; x = −1 не подходит по смыслу. Скорость 12 км/ч

Баллы: задания 1, 2 и 4 по 1 баллу; задание 3 на 2 балла (1 за решение, 1 за исключение корня по ОДЗ); задача 5 на 2 балла (1 за верное уравнение, 1 за ответ с отбором корня). Всего 7 баллов. Отдельный балл за ОДЗ в заданиях 2–4 не ставьте: ученик, который забыл ОДЗ в задании 3, и так потеряет балл на постороннем корне.

Баллы	Отметка
6–7	5
5	4
4	3
0–3	2

Шкала примерная. Сверьте её с положением об оценивании в вашей школе. Арифметическую описку при верном ходе решения можно оценить мягче, чем потерю ОДЗ.

Типичные ошибки восьмиклассников

Типичные ошибки

Забыли ОДЗ — потому что привыкли «сразу умножать». Правильно: выписать запрещённые значения до первого преобразования, тогда в конце есть с чем сравнить корни.
Оставили посторонний корень — потому что дошли до числа и успокоились. Правильно: каждый корень подставить в знаменатели или сравнить с ОДЗ, и только потом писать ответ.
Умножили только дроби, а целое число оставили как есть: в уравнении 3/x + 1 = 5 получили 3 + 1 = 5. Правильно: каждое слагаемое умножается на общий знаменатель, получится 3 + x = 5x.
Потеряли знак при переносе или раскрытии скобок: −(x − 4) записали как −x − 4. Правильно: минус перед скобкой меняет знаки у всех слагаемых внутри.
Сократили слагаемое: в дроби (x + 3)/(3x) вычеркнули тройки и получили (x + 1)/x. Правильно: сокращать можно только множители; если числитель или знаменатель — сумма, сначала проверьте, выносится ли общий множитель за скобки (здесь не выносится, и дробь не сокращается).

Ошибки с суммами и скобками лучше разбирать на карточках отдельно: они видны не только в этой теме. Если у класса пробел в разложении на множители, вернитесь к самостоятельной по вынесению общего множителя и к контрольной по формулам сокращённого умножения.

Рациональные дроби: разминка перед темой

Перед темой ученик должен уверенно сокращать и складывать алгебраические дроби, иначе даже верное ОДЗ не поможет. Проверить это в 8 классе поможет короткая самостоятельная работа на действия с алгебраическими дробями: три задания на 5–7 минут в начале урока.

Разминка: действия с алгебраическими дробями

1. Сократите дробь: (x² − 9)/(x² + 3x)
2. Сложите: 1/(x − 2) + 3/(x + 2)
3. Упростите: 4x/(x² − 1) · (x − 1)/2

Ответы: 1) (x − 3)/x при x ≠ 0 и x ≠ −3; 2) (x + 2 + 3x − 6)/(x² − 4) = 4(x − 1)/(x² − 4); 3) 2x/(x + 1).

Если класс слабый, сделайте облегчённый вариант: уберите задачу 5, а в задании 3 возьмите уравнение x/(x − 3) = 3/(x − 3). Корень x = 3 не входит в ОДЗ, итог «корней нет», и ученики на простом примере видят, как работает проверка. Для сильных добавьте задание со звёздочкой: 2/(x − 3) + 5/(x + 3) = 12/(x² − 9). Здесь x = 3 обращает знаменатель в ноль, так что и здесь корней нет.

Как провести работу пошагово

За 5 минут до работы повторите алгоритм с доски и решите один пример с посторонним корнем.
Раздайте варианты, напомните, что в ответе должны быть ОДЗ или проверка корней.
Дайте 12–15 минут, в задаче 5 запрещайте писать уравнение без пояснения «пусть x — ...», иначе трудно понять ход мысли.
Соберите работы и проверьте по таблице ответов, пометив тип ошибки: О (ОДЗ), К (корень), З (знак), У (умножение).
На следующем уроке разберите у доски одно задание, где ошиблись больше всего, и дайте карточки на закрепление.

Что с 9 классом

В 9 классе работа проходит по тому же плану, но сложнее знаменатели и чаще нужна замена переменной. Для 9 класса можно оставить задания 1–4 из этого варианта и заменить задачу на уравнение с заменой.

Мини-задача для 9 класса: решите (x² + 1)/x + 2x/(x² + 1) = 3. Пусть t = (x² + 1)/x, тогда t + 2/t = 3, откуда t² − 3t + 2 = 0 и t = 1 или t = 2. Уравнение (x² + 1)/x = 1 приводит к x² − x + 1 = 0 и не имеет корней, а (x² + 1)/x = 2 даёт (x − 1)² = 0, то есть x = 1. Ответ: 1. Подстановка подтверждает: (1 + 1)/1 + 2/2 = 3. Проверьте, что замена переменной есть в вашей рабочей программе.

В 8 классе тема стоит рядом с квадратными уравнениями: в одних учебниках раньше, в других позже, поэтому пригодятся квадратные уравнения: самостоятельная для 8 класса и контрольная по квадратным уравнениям. Итоговый рубеж по алгебре за год можно построить по образцу контрольной по алгебре для 7 класса.

Если коротко, самостоятельная работа дробно рациональные уравнения 8 класс — это пять заданий на 12–15 минут, где каждое проверяет свой шаг: ОДЗ, общий знаменатель, посторонний корень, пропорцию и задачу. Начните с разминки на алгебраические дроби, держите алгоритм на доске и снимайте балл за неотброшенный корень.

Частые вопросы

Что такое ОДЗ в дробно-рациональном уравнении?

ОДЗ — это все значения переменной, при которых ни один знаменатель не равен нулю. Для 7/(x − 3) + x/(x + 6) = 2 запрещены x = 3 и x = −6.

Как проверить корни дробно-рационального уравнения?

Сравните каждый найденный корень с ОДЗ: если он совпадает с запрещённым значением, это посторонний корень. Для верности можно подставить корень в исходное уравнение и убедиться, что обе части равны.

Сколько заданий давать в самостоятельной?

Пять заданий укладываются в 12–15 минут, и этого хватает, чтобы увидеть ОДЗ, решение, проверку корней и применение в задаче. Для слабого класса оставьте четыре.

Как оценивать такую работу?

Поставьте баллы за каждое задание и переведите сумму в отметку по шкале вашей школы. В этой работе максимум 7 баллов; 6–7 баллов — «5», 5 — «4», 4 — «3». Шкала примерная.

Чем самостоятельная отличается от контрольной?

Самостоятельная короче и проверяет несколько умений по одной теме сразу после её изучения, контрольная охватывает раздел целиком. Отметка за самостоятельную ставится по решению учителя и положению школы.

Что делать, если корень лишний?

Вычеркните его и запишите в ответ только корни из ОДЗ; если остался один, ответом будет он, а если ничего не осталось, пишите «корней нет». В работе за это отдельный балл, потому что именно на этом шаге ошибаются чаще всего.