Арифметическая прогрессия самостоятельная работа 9 класс: 2 варианта с ответами

Арифметическая прогрессия самостоятельная работа 9 класс: ниже два варианта по пять заданий на 12–15 минут, которые проверяют формулу n-го члена и сумму n членов, а к ним ключ, критерии и типичные ошибки. Сама арифметическая прогрессия — последовательность, где каждый член больше предыдущего на одно и то же число d.

Работа авторская, числа можно менять под свой класс. Формулы и обозначения сверьте с учебником, по которому вы работаете.

Что проверяет работа

Задания подобраны так, чтобы каждое отвечало за своё умение из тем «формула n-го члена» и «сумма n членов». Числовые последовательности в целом (способы задания, рекуррентная формула) здесь не проверяются: если нужна самостоятельная по ним, дайте её отдельным листом перед этой.

Первое задание: найти член по формуле. Второе: определить разность d по первым членам и найти нужный член, причём d отрицательная. Третье: найти сумму первых n членов. Четвёртое: понять, входит ли число в ряд, то есть получить целый номер члена. Пятое: текстовая задача, где ряд чисел надо увидеть самому.

Давать работу сразу после объяснения суммы рано: часть детей ещё путает правила. Лучше провести её через урок-другой, когда на каждое правило решено хотя бы десять примеров. Тогда работа покажет реальные пробелы, которые останутся после того, как свежее объяснение забудется. Работа рассчитана на 12–15 минут, и это стоит проверить на себе: решите оба варианта сами, засекая время. Если не укладываетесь в 15 минут, уберите самое длинное задание.

Вариант 1

Фамилия, имя: [ФИО]. Класс: [класс]. Дата: [дата].

1. В арифметической прогрессии a₁ = 5, d = 3. Найдите a₁₂.
2. Дана последовательность 18, 14, 10, … (арифметическая прогрессия). Найдите разность d и девятый член a₉.
3. Найдите сумму первых 15 членов, если a₁ = 4, d = 2.
4. В арифметической прогрессии a₁ = 5, d = 3. Входит ли в неё число 83? Число 100? Ответ обоснуйте.
5. В зале 12 рядов. В первом ряду 15 мест, в каждом следующем на 2 места больше. Сколько мест в последнем ряду и сколько мест в зале всего?

Вариант 2

Фамилия, имя: [ФИО]. Класс: [класс]. Дата: [дата].

1. В арифметической прогрессии a₁ = 7, d = 4. Найдите a₁₀.
2. Дана последовательность 40, 35, 30, … (арифметическая прогрессия). Найдите разность d и восьмой член a₈.
3. Найдите сумму первых 20 членов, если a₁ = −3, d = 3.
4. В арифметической прогрессии a₁ = 7, d = 4. Входит ли в неё число 95? Число 100? Ответ обоснуйте.
5. Бригада укладывает трубы: в первый день 20 м, в каждый следующий на 3 м больше. Сколько метров уложено в десятый день и сколько за все десять дней?

Варианты равны по трудности: в каждом одно задание на формулу члена, одно на d с отрицательной разностью, одно на сумму, одно на проверку числа и одна текстовая задача.

Ответы и образцы решения

Ключ для проверки. Все числа проверены вычислением, суммы ещё и по второй формуле.

Образец с формулой n-го члена (вариант 1, задание 1). Формула aₙ = a₁ + d(n − 1). Подставляем: a₁₂ = 5 + 3 · (12 − 1) = 5 + 3 · 11 = 5 + 33 = 38.

Образец с суммой (вариант 1, задание 3). Берём формулу Sₙ = (2a₁ + d(n − 1)) / 2 · n. Получаем S₁₅ = (2 · 4 + 2 · 14) / 2 · 15 = (8 + 28) / 2 · 15 = 18 · 15 = 270. Проверка второй формулой: a₁₅ = 4 + 2 · 14 = 32, S₁₅ = (4 + 32) / 2 · 15 = 18 · 15 = 270.

Образец для задания 4 (вариант 1). Решаем уравнение 5 + 3(n − 1) = 83. Получаем 3(n − 1) = 78, n − 1 = 26, n = 27. Номер целый, значит число 83 входит как двадцать седьмой член. Для 100 получаем n − 1 = 95/3, номер дробный, и такого члена нет.

Образец для задания 5 (вариант 1). Это арифметическая прогрессия с a₁ = 15, d = 2, n = 12. В последнем ряду a₁₂ = 15 + 2 · 11 = 37 мест. Всего S₁₂ = (15 + 37) / 2 · 12 = 26 · 12 = 312 мест.

Образец для задания 3 (вариант 2) с отрицательным первым членом. a₁ = −3, d = 3, n = 20. S₂₀ = (2 · (−3) + 3 · 19) / 2 · 20 = (−6 + 57) / 2 · 20 = 51 / 2 · 20 = 510. Минус при a₁ нельзя терять: именно здесь дети чаще всего ошибаются в знаке.

Для сильных учеников

Три дополнительных задания подойдут тем, кто закончил раньше всех, или как работа повышенного уровня.

1. Сколько членов в последовательности 4, 7, 10, …, 49, если это арифметическая прогрессия?
2. Вставьте между числами 3 и 19 три числа так, чтобы все пять чисел стали последовательными членами арифметической прогрессии.
3. В арифметической прогрессии a₄ = 11, a₉ = 31. Найдите a₁ и d.

Ответы. Первое: 49 = 4 + 3(n − 1), откуда n = 16. Второе: четыре шага от 3 до 19, значит d = 16 / 4 = 4, числа 7, 11, 15. Третье: за пять шагов от a₄ до a₉ прибавлено 20, поэтому d = 4, а a₁ = 11 − 3 · 4 = −1.

Шпаргалка формул

Эту таблицу удобно держать на доске при разборе и у себя на столе при проверке.

Если d больше нуля, прогрессия возрастающая, если меньше нуля, убывающая. При d, равном нулю, все члены одинаковы.

Критерии оценки

За работу можно получить 10 баллов. Пороги примерные, итоговую шкалу берите из положения об оценивании своей школы.

Ученик, который верно записал нужное равенство и ошибся в счёте, получает половину баллов за задание. Так вы видите, где именно у него пробел: в теории или в счёте.

Типичные ошибки девятиклассников

После работы дайте двум-трём ученикам объяснить у доски, где они теряют знак. Дети лучше слышат ошибку от соседа по классу.

Что делать с результатами

Когда арифметическая прогрессия самостоятельная работа 9 класс проверена, результаты полезны ровно настолько, насколько вы их используете. Разложите листы на три стопки: без ошибок, с ошибкой в счёте, с ошибкой в правиле. Первой группе можно дать дополнительные задания, второй достаточно ещё одной небольшой тренировки на вычисления, а третьей нужен повторный разбор правила у доски.

Если ошибки в правиле у половины класса, тему стоит повторить до того, как двигаться дальше. Отметки за такую работу можно ставить в журнал или оставить для самопроверки. Решение зависит от положения об оценивании вашей школы. Родителям удобно показывать список умений: что получается уверенно, что стоит потренировать дома.

Как провести

Если нужна ещё одна тема для проверки в 9 классе, посмотрите самостоятельную работу по векторам: она построена по тому же принципу, и классу не придётся привыкать к новому формату. Для повторения алгебры восьмого класса пригодится самостоятельная по квадратным уравнениям, а как сделать подобную работу для 7 класса, показывает самостоятельная по вынесению общего множителя.

Итог: арифметическая прогрессия самостоятельная работа 9 класс из этой статьи укладывается в 12–15 минут и проверяет две формулы — n-го члена и суммы. Прогрессия похожа на лестницу с одинаковыми ступеньками: зная первую ступеньку и высоту шага d, можно сразу назвать любую, не поднимаясь по всем. Три стопки листов после проверки подскажут, кому нужен счёт, а кому повтор правила.

Частые вопросы

Что такое прогрессия простыми словами?

Это ряд чисел, в котором каждое следующее получается из предыдущего по одному и тому же правилу. Если правило «прибавь одно и то же число», ряд называется арифметической прогрессией. Например, 3, 7, 11, 15: каждый раз прибавляем 4.

Чем арифметическая прогрессия отличается от геометрической?

В арифметической к каждому члену прибавляют одно и то же число d, в геометрической каждый член умножают на одно и то же число q. Например, 2, 5, 8, 11 — первый случай с d = 3, а 2, 6, 18, 54 — второй с q = 3.

В каком классе изучают эту тему?

В большинстве программ её проходят в 9 классе по алгебре, но порядок зависит от учебника и рабочей программы. Сверьтесь с календарным планом своей школы.

Как найти разность d?

Вычтите из любого члена предыдущий: d = aₙ₊₁ − aₙ. Если даны два члена с номерами, разность находят делением: d = (aₙ − aₘ) / (n − m). Например, при a₃ = 10 и a₇ = 26 получаем d = (26 − 10) / 4 = 4.

Как найти сумму n членов?

Если известны первый и последний члены, возьмите Sₙ = (a₁ + aₙ) / 2 · n. Если последнего члена нет, используйте Sₙ = (2a₁ + d(n − 1)) / 2 · n. Для a₁ = 2, aₙ = 14 при n = 5 получаем S₅ = 8 · 5 = 40.

Какие существуют виды прогрессий?

В школьном курсе алгебры их два: арифметическая (прибавляем d) и геометрическая (умножаем на q). Арифметическая по знаку d бывает возрастающей (d > 0), убывающей (d < 0) и постоянной (d = 0). Геометрическая тоже может расти или убывать, а при 0 < |q| < 1 и бесконечном числе членов у неё появляется сумма бесконечно убывающей прогрессии.